☛ **Vrai ou faux - puissance

Énoncé

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. \(3^{-2}\times 3^{-6}=3^{12}\)
2. \(3^{-5}+3^{10}=3^5\)
3. \(\dfrac{8^{73}\times3^{-31}}{9^{15}\times 2^{221}}=\dfrac{1}{2^2\times 3^{61}}\)
4. \(\dfrac{(3^5\times 2^{-2})^2}{(9^{-1}\times 2^3)^3}=3^{-16}\times 2^{13}\)
5. \(12^{100}\times (1,5)^{49}\times 6^{-148}=36\)

Solution

1. \(3^{-2}\times 3^{-6}=3^{-2+(-6)}=3^{-8}\).
Or, \(3^{-8}\neq3^{12}\). Donc la proposition est fausse.

2. \(3^{-5}+3^{10}=\dfrac{1}{3^5}+3^{10}=\dfrac{1+3^{10}\times 3^5}{3^5}=\dfrac{1+3^{15}}{3^5}\).
Or, \(\dfrac{1+3^{15}}{3^5}\neq3^5\). Donc la proposition est fausse.
3.
 \(\dfrac{8^{73}\times3^{-31}}{9^{15}\times 2^{221}}=\dfrac{(2^3)^{73}\times 3^{-31}}{(3^2)^{15}\times 2^{221}}=\dfrac{2^{3\times73}}{2^{221}}\times \dfrac{3^{-31}}{3^{2\times 15}}=2^{3\times73-221}\times 3^{-31-2\times15}=2^{-2}\times3^{-61}\\ \quad=\dfrac{1}{2^2\times 3^{61}}\)
Donc la proposition est vraie.
4. 
 \(\dfrac{(3^5\times 2^{-2})^2}{(9^{-1}\times 2^3)^3}=\dfrac{3^{10}\times 2^{-4}}{((3^2)^{-1}\times2^3)^3}=\dfrac{3^{10}\times 2^{-4}}{(3^{-2})^3\times 2^9}=\dfrac{3^{10}}{3^{-6}}\times\dfrac{2^{-4}}{2^9}=3^{16}\times 2^{-13}\)
Donc la proposition est fausse.

5. \(12^{100}\times (1,5)^{49}\times 6^{-148}=(3\times 2^2)^{100}\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^{49}\times\dfrac{1}{(2\times3)^{148}}=\dfrac{3^{100}\times3^{49}}{3^{148}}\times\dfrac{2^{200}}{2^{49}\times2^{148}}\\\quad=3^{100+49-148}\times 2^{200-49-148}=3^1\times2^3=24\)Donc la proposition est fausse.